21年春福师《实变函数》在线作业一[答案]

21年春福师《实变函数》在线作业一[答案]满分答案

福师《实变函数》在线作业一-0002

试卷总分:100 得分:100

一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

2.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.

3.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

4.测度为零的集称为零测集.

5.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].

6.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

7.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.

8.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

9.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx

正确答案:-----

正确答案:-----

10.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

11.对R^n中任意点集E，EE'必为可测集.

12.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

13.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.

14.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.

15.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。

16.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.

正确答案:-----

17.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。

21.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

正确答案:-----

19.f可积的充要条件是f+和f-都可积.

20.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

21.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集

正确答案:-----

22.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.

23.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].

24.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

25.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.

26.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.

27.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

正确答案:-----

28.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.

29.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx

30.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.

31.零测度集的任何子集都是可测集.

32.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.

33.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

34.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

正确答案:-----

35.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

36.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.

37.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.

21年春福师《实变函数》在线作业一[答案]多选题答案

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.下列关系式中不成立的是（ ）

A.f(∪Ai)=∪f(Ai)

B.f∩(Ai)=f(∩Ai)

C.(A∩B)0=A0∩B0

D.(∪Ai)c=∩(Aic)

正确答案:-----

39.有限个可数集的乘积集是（ ）

A.有限集

B.可数集

C.有连续统势的集

D.基数为2^c的集

正确答案:-----

40.fn->f,a.e.,则

A.fn依测度收敛于f

B.fn几乎一致收敛于f

C.fn一致收敛于f

D.|fn|->|f|,a.e.

正确答案:-----

41.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.

A.mE=0

B.0

C.mE=+∞

D.0<=mE<=+∞

正确答案:-----

42.若A为R^n中一疏集，则（ ）

A.Ac为稠集

B.A为开集

C.A为孤立点集

D.A不完备

正确答案:-----

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则

A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2

B.若E1包含于E2,mE1<=mE2

C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1

44.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

A.广义R可积

B.不是广义R可积

C.L可积

D.不是L可积

正确答案:-----

45.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）

A.f+g不可测

B.fg不可测

C.g^2可测

D.|g|可测

正确答案:-----

46.若f∈BV[a,b]，则（ ）

A.f为有界函数

B.Vax(f)为增函数

C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

D.f至多有可数个第一类间断点

正确答案:-----

47.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）

A.几乎处处可微

B.L可积

C.f'可积

D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)

正确答案:-----

48.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是

A.是L可测函数

B.不是L可测函数

C.有界函数

D.连续函数

正确答案:-----

49.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）

A.m(A)

B.m(A)<=m(B)

C.m(BA)=m(A)

D.m(B)=m(A)+m(BA)

正确答案:-----

50.若f,g是有界变差函数，则（ ）

A.f+g有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.max(f,g)有界变差函数

正确答案:-----

21年春福师《实变函数》在线作业一[答案]历年参考题目如下：

福师《实变函数》在线作业一-0004

试卷总分:100 得分:100

一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].

2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.

3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

4.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.

5.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

6.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

7.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

8.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.

9.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

10.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

11.测度为零的集称为零测集.

12.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx

13.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

14.若f可测，则|f|可测，反之也成立.

15.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

16.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).

17.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.

18.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

19.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.

20.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。

22.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

23.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

24.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.

25.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.

26.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.

27.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

28.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

29.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

30.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

31.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

32.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.

33.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集

34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

35.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.

36.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

37.f,g∈M(X),则fg∈M(X).

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）

A.非充分非必要条件

B.必要条件

C.充要条件

D.充分条件

39.开集减去闭集其差集是（ ）

A.非开非闭集

B.闭集

C.既开既闭集

D.开集

40.下列关系式中不成立的是（ ）

A.f(∪Ai)=∪f(Ai)

B.f∩(Ai)=f(∩Ai)

C.(A∩B)0=A0∩B0

D.(∪Ai)c=∩(Aic)

41.fn->f,a.e.,则

A.fn几乎一致收敛于f

B.fn依测度收敛于f

C.fn一致收敛于f

D.|fn|->|f|,a.e.

42.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A.连续函数

B.绝对连续函数

C.有界变差函数

D.单调函数

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.若f∈AC[a,b]，则（ ）

A.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt

B.f∈Lip[a,b]

C.f∈C[a,b]

D.f∈BV[a,b]

44.若f∈BV[a,b]，则（ ）

A.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

B.f至多有可数个第一类间断点

C.f为有界函数

D.Vax(f)为增函数

45.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上

A.积分具有绝对连续性

B.有L积分值

C.广义R可积

D.L可积

46.若f,g是有界变差函数，则（ ）

A.max(f,g)有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.f+g有界变差函数

47.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

A.广义R可积

B.不是广义R可积

C.不是L可积

D.L可积

48.若0<=g<=f且f可积，则（ ）

A.当g可测时g必可积

B.g可积

C.g可测

D.g<∞，a.e.

49.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则

A.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1

B.若E1包含于E2,mE1<=mE2

C.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2

50.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）

A.|f|可积

B.f可测

C.|f|<∞.a.e.

D.f^2可积