21秋福师《实变函数》在线作业一[答案]

21秋福师《实变函数》在线作业一[答案]答案

福师《实变函数》在线作业一-0004 试卷总分:100 得分:100 一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.fBV，则f几乎处处可微，且fL1[a,b]. 2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等. 3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。 4.若fAC，则f是连续的有界变差函

福师《实变函数》在线作业一-0004

试卷总分:100 得分:100

一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].

2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.

3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

4.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.

5.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

6.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

7.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

8.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.

9.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

正确答案:-----

10.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

11.测度为零的集称为零测集.

12.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx

正确答案:-----

13.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

14.若f可测，则|f|可测，反之也成立.

15.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

16.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).

17.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.

21.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

19.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.

20.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。

22.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

23.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

24.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.

25.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.

26.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.

27.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

28.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

29.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

正确答案:-----

30.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

31.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

32.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.

33.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集

正确答案:-----

34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

35.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.

36.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

37.f,g∈M(X),则fg∈M(X).

21秋福师《实变函数》在线作业一[答案]多选题答案

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）

正确答案:-----

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件

正确答案:-----

39.开集减去闭集其差集是（ ）

A.闭集

B.开集

C.非开非闭集

D.既开既闭集

正确答案:-----

40.下列关系式中不成立的是（ ）

A.f(∪Ai)=∪f(Ai)

B.f∩(Ai)=f(∩Ai)

C.(A∩B)0=A0∩B0

D.(∪Ai)c=∩(Aic)

正确答案:-----

41.fn->f,a.e.,则

A.fn依测度收敛于f

B.fn几乎一致收敛于f

C.fn一致收敛于f

D.|fn|->|f|,a.e.

正确答案:-----

42.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A.连续函数

B.单调函数

C.有界变差函数

D.绝对连续函数

正确答案:-----

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.若f∈AC[a,b]，则（ ）

A.f∈C[a,b]

B.f∈BV[a,b]

C.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt

正确答案:-----

D.f∈Lip[a,b]

正确答案:-----

44.若f∈BV[a,b]，则（ ）

A.f为有界函数

B.Vax(f)为增函数

C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

D.f至多有可数个第一类间断点

正确答案:-----

45.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上

A.有L积分值

B.广义R可积

C.L可积

D.积分具有绝对连续性

正确答案:-----

46.若f,g是有界变差函数，则（ ）

A.f+g有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.max(f,g)有界变差函数

正确答案:-----

47.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

A.广义R可积

B.不是广义R可积

C.L可积

D.不是L可积

正确答案:-----

48.若0<=g<=f且f可积，则（ ）

A.g可积

B.g可测

C.g<∞，a.e.

D.当g可测时g必可积

正确答案:-----

49.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则

A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2

B.若E1包含于E2,mE1<=mE2

C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1

50.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）

A.f可测

B.|f|可积

C.f^2可积

D.|f|<∞.a.e.

正确答案:-----

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21秋福师《实变函数》在线作业一[答案]历年参考题目如下：

福师《实变函数》在线作业一-0004

试卷总分:100 得分:100

一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].

2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.

3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

4.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.

5.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

6.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

7.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

8.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.

9.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

10.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

11.测度为零的集称为零测集.

12.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx

13.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

14.若f可测，则|f|可测，反之也成立.

15.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

16.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).

17.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.

18.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

19.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.

20.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。

22.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

23.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

24.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.

25.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.

26.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.

27.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

28.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

29.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

30.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

31.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

32.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.

33.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集

34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

35.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.

36.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

37.f,g∈M(X),则fg∈M(X).

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件

39.开集减去闭集其差集是（ ）

A.闭集

B.开集

C.非开非闭集

D.既开既闭集

40.下列关系式中不成立的是（ ）

A.f(∪Ai)=∪f(Ai)

B.f∩(Ai)=f(∩Ai)

C.(A∩B)0=A0∩B0

D.(∪Ai)c=∩(Aic)

41.fn->f,a.e.,则

A.fn依测度收敛于f

B.fn几乎一致收敛于f

C.fn一致收敛于f

D.|fn|->|f|,a.e.

42.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A.连续函数

B.单调函数

C.有界变差函数

D.绝对连续函数

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.若f∈AC[a,b]，则（ ）

A.f∈C[a,b]

B.f∈BV[a,b]

C.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt

D.f∈Lip[a,b]

44.若f∈BV[a,b]，则（ ）

A.f为有界函数

B.Vax(f)为增函数

C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

D.f至多有可数个第一类间断点

45.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上

A.有L积分值

B.广义R可积

C.L可积

D.积分具有绝对连续性

46.若f,g是有界变差函数，则（ ）

A.f+g有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.max(f,g)有界变差函数

47.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

A.广义R可积

B.不是广义R可积

C.L可积

D.不是L可积

48.若0<=g<=f且f可积，则（ ）

A.g可积

B.g可测

C.g<∞，a.e.

D.当g可测时g必可积

49.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则

A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2

B.若E1包含于E2,mE1<=mE2

C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1

50.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）

A.f可测

B.|f|可积

C.f^2可积

D.|f|<∞.a.e.