21秋福师《实变函数》在线作业二[答案]

21秋福师《实变函数》在线作业二[答案]答案

福师《实变函数》在线作业二-0005 试卷总分:100 得分:100 一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.函数fC[-,],则f可测。 2.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。 3.fBV，则f几乎处处可微，且fL1[a,b]. 4.若fBV当且仅当f是两个增函数之差。 5.集合A可测等价于该集合的特征函数

福师《实变函数》在线作业二-0005

试卷总分:100 得分:100

一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

2.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。

3.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].

4.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

5.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

6.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].

7.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.

8.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

9.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

10.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

11.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。

12.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.

13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

14.若f∈BV,则f有界。

15.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。

16.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

17.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.

21.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.

19.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.

20.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

21.测度为零的集称为零测集.

22.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.

23.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

24.对R^n中任意点集E，EE'必为可测集.

25.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.

26.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

27.零测度集的任何子集都是可测集.

28.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.

29.若f可测，则|f|可测，反之也成立.

30.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

正确答案:-----

31.可数集的测度必为零，反之也成立.

32.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx

正确答案:-----

33.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

34.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.

35.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).

36.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

37.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

21秋福师《实变函数》在线作业二[答案]多选题答案

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.

A.mE=0

B.0

C.mE=+∞

D.0<=mE<=+∞

正确答案:-----

39.若f∈L(X),则

A.f在X上几乎处处连续

B.存在g∈L(X)使得|f|<=g

C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.

正确答案:-----

40.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A.连续函数

B.单调函数

C.有界变差函数

D.绝对连续函数

正确答案:-----

41.下列关系式中不成立的是（ ）

A.f(∪Ai)=∪f(Ai)

B.f∩(Ai)=f(∩Ai)

C.(A∩B)0=A0∩B0

D.(∪Ai)c=∩(Aic)

正确答案:-----

42.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）

正确答案:-----

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件

正确答案:-----

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）

A.f^-1(f（A）)=A

B.f^-1(f（A）)包含A

C.f(f^-1（A）)=A

D.f(AB)包含f(A)f(B)

正确答案:-----

44.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上

A.有L积分值

B.广义R可积

C.L可积

D.积分具有绝对连续性

正确答案:-----

45.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

A.广义R可积

B.不是广义R可积

C.L可积

D.不是L可积

正确答案:-----

46.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）

A.f在R上处处不连续

B.f在R上为可测函数

C.f几乎处处连续

D.f不是可测函数

正确答案:-----

47.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）

A.m(A)

B.m(A)<=m(B)

C.m(BA)=m(A)

D.m(B)=m(A)+m(BA)

正确答案:-----

48.若f∈AC[a,b]，则（ ）

A.f∈C[a,b]

B.f∈BV[a,b]

C.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt

正确答案:-----

D.f∈Lip[a,b]

正确答案:-----

49.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）

A.fn测度收敛于|f|

B.afn+bgn测度收敛于af+bg

C.(fn)^2测度收敛于f^2

D.fngn测度收敛于fg

正确答案:-----

50.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是

A.是L可测函数

B.不是L可测函数

C.有界函数

D.连续函数

正确答案:-----

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21秋福师《实变函数》在线作业二[答案]历年参考题目如下：

福师《实变函数》在线作业二-0003

试卷总分:100 得分:0

一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。

A.错误

B.正确

2.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.

A.错误

B.正确

3.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

A.错误

B.正确

4.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．

A.错误

B.正确

5.可数集的测度必为零，反之也成立.

A.错误

B.正确

6.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.

A.错误

B.正确

7.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

A.错误

B.正确

8.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

A.错误

B.正确

9.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.

A.错误

B.正确

10.对R^n中任意点集E，EE'必为可测集.

A.错误

B.正确

11.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

A.错误

B.正确

12.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.

A.错误

B.正确

13.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

A.错误

B.正确

14.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.

A.错误

B.正确

15.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

A.错误

B.正确

16.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx

A.错误

B.正确

17.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

A.错误

B.正确

18.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.

A.错误

B.正确

19.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。

A.错误

B.正确

20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

A.错误

B.正确

21.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.

A.错误

B.正确

22.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

A.错误

B.正确

23.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.

A.错误

B.正确

24.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].

A.错误

B.正确

25.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.

A.错误

B.正确

26.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.

A.错误

B.正确

27.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

A.错误

B.正确

28.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

A.错误

B.正确

29.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

A.错误

B.正确

30.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.

A.错误

B.正确

31.测度为零的集称为零测集.

A.错误

B.正确

32.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。

A.错误

B.正确

33.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).

A.错误

B.正确

34.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

A.错误

B.正确

35.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

A.错误

B.正确

36.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.

A.错误

B.正确

37.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

A.错误

B.正确

二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

1.若A为R^n中一疏集，则（ ）

A.Ac为稠集

B.A为开集

C.A为孤立点集

D.A不完备

2.有限个可数集的乘积集是（ ）

A.有限集

B.可数集

C.有连续统势的集

D.基数为2^c的集

3.若|A|=|B|,|C|=|D|,则

A.|A∪C|=|B∪D|

B.|A∩C|=|B∩D|

C.|AC|=|BD|

D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|

4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.

A.mE=0

B.0

C.mE=+∞

D.0<=mE<=+∞

5.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A.连续函数

B.单调函数

C.有界变差函数

D.绝对连续函数

三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

1.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则

A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2

B.若E1包含于E2,mE1<=mE2

C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1

2.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）

A.f^-1(f（A）)=A

B.f^-1(f（A）)包含A

C.f(f^-1（A）)=A

D.f(AB)包含f(A)f(B)

3.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）

A.f在R上处处不连续

B.f在R上为可测函数

C.f几乎处处连续

D.f不是可测函数

4.若f∈BV[a,b]，则（ ）

A.f为有界函数

B.Vax(f)为增函数

C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

D.f至多有可数个第一类间断点

5.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）

A.m(A)

B.m(A)<=m(B)

C.m(BA)=m(A)

D.m(B)=m(A)+m(BA)

6.若f,g是有界变差函数，则（ ）

A.f+g有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.max(f,g)有界变差函数

7.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

A.广义R可积

B.不是广义R可积

C.L可积

D.不是L可积

8.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）

A.f+g不可测

B.fg不可测

C.g^2可测

D.|g|可测