![23春福师《实变函数》在线作业一[答案][答案]](http://m.omarabdo.com/uploads/allimg/240110/af1c6f771c35639026c644f12b4be262.jpg)
正确答案:C
正确答案:C
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
2.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
3.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
4.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
正确答案:B
5.不存在这样的函数f在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 正确答案:D 正确答案:D 6.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV. 7.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。 8.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 9.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. 10.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. 11.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差. 12.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV. 13.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集. 14.积分的引进分为三个递进的步骤非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. 15.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 16.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 正确答案:C 17.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 21.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 19.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. 20.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. 21.连续函数和单调函数都是有界变差函数. 22.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。 23.若f有界且m(X)<∞,则f可测。 24.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 25.有限覆盖定理的内容是若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. 26.可数集的测度必为零，反之也成立. 27.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. 28.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. 29.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 30.闭集套定理的内容是{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空. 31.f可积的充要条件:|f|可积。 32.g的连续点是L点，但L点未必是连续点. 33.若f可测，则|f|可测，反之也成立. 34.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数几乎处处可微而且导函数可积。 35.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛. 36.零测度集的任何子集都是可测集. 37.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b]. 正确答案:D 二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分) 38.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的 A.连续函数 B.单调函数 C.有界变差函数 D.绝对连续函数 正确答案:B 39.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 正确答案:C A.|A∪C|=|B∪D| 正确答案:C 正确答案:C 正确答案:A B.|A∩C|=|B∩D| C.|AC|=|BD| D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D| 正确答案:D 40.若f∈L(X),则 A.f在X上几乎处处连续 B.存在g∈L(X)使得|f|<=g C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e. 正确答案:C 41.有限个可数集的乘积集是（ ） A.有限集 B.可数集 C.有连续统势的集 D.基数为2^c的集 正确答案:D 42.下列关系式中不成立的是（ ） A.f(∪Ai)=∪f(Ai) B.f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic) 正确答案:A 三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分) 43.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ） A.m(A) B.m(A)<=m(B) C.m(BA)=m(A) D.m(B)=m(A)+m(BA) 正确答案:D 44.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ） A.f在R上处处不连续 B.f在R上为可测函数 C.f几乎处处连续 D.f不是可测函数 正确答案:A 45.若f,g是有界变差函数，则（ ） A.f+g有界变差函数 B.fg有界变差函数 C.f/g有界变差函数 D.max(f,g)有界变差函数 正确答案:C 46.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ） A.f可测 B.|f|可积 C.f^2可积 D.|f|<∞.a.e. 正确答案:C 47.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是 A.是L可测函数 B.不是L可测函数 C.有界函数 D.连续函数 正确答案:A 48.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ） A.f+g不可测 B.fg不可测 C.g^2可测 D.|g|可测 正确答案:B 49.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ） A.f^-1(f（A）)=A B.f^-1(f（A）)包含A C.f(f^-1（A）)=A D.f(AB)包含f(A)f(B) 正确答案:B 50.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ） A.fn测度收敛于|f| B.afn+bgn测度收敛于af+bg C.(fn)^2测度收敛于f^2 D.fngn测度收敛于fg 正确答案:A 23春福师《实变函数》在线作业一[答案]历年参考题目如下： 福师《实变函数》在线作业二-0003 试卷总分:100 得分:100 一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. 2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。 3.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续. 4.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . 5.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等. 7.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. 8.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. 9.可数集的测度必为零，反之也成立. 10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。 11.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。 12.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. 13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. 14.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 15.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f). 16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. 21.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 19.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. 20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 21.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集. 22.对R^n中任意点集E，EE'必为可测集. 23.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b]. 24.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． 25.f可积的充要条件:|f|可积。 26.不存在这样的函数f在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 27.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. 28.若f可测，则|f|可测，反之也成立. 29.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差. 30.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. 31.有限覆盖定理的内容是若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. 32.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b]. 33.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 35.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 36.若f∈BV,则f有界。 37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续. 二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分) 38.若f∈L(X),则 A.f在X上几乎处处连续 B.存在g∈L(X)使得|f|<=g C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e. 39.开集减去闭集其差集是（ ） A.闭集 B.开集 C.非开非闭集 D.既开既闭集 40.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 A.|A∪C|=|B∪D| B.|A∩C|=|B∩D| C.|AC|=|BD| D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D| 41.fn->f,a.e.,则 A.fn依测度收敛于f B.fn几乎一致收敛于f C.fn一致收敛于f D.|fn|->|f|,a.e. 42.下列关系式中不成立的是（ ） A.f(∪Ai)=∪f(Ai) B.f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic) 三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分) 43.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是 A.是L可测函数 B.不是L可测函数 C.有界函数 D.连续函数 44.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ） A.f可测 B.|f|可积 C.f^2可积 D.|f|<∞.a.e. 45.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ） A.f在R上处处不连续 B.f在R上为可测函数 C.f几乎处处连续 D.f不是可测函数 46.若0<=g<=f且f可积，则（ ） A.g可积 B.g可测 C.g<∞，a.e. D.当g可测时g必可积 47.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ） A.fn测度收敛于|f| B.afn+bgn测度收敛于af+bg C.(fn)^2测度收敛于f^2 D.fngn测度收敛于fg 48.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ） A.f^-1(f（A）)=A B.f^-1(f（A）)包含A C.f(f^-1（A）)=A D.f(AB)包含f(A)f(B) 49.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ） A.f+g不可测 B.fg不可测 C.g^2可测 D.|g|可测 50.若f,g是有界变差函数，则（ ） A.f+g有界变差函数 B.fg有界变差函数 C.f/g有界变差函数 D.max(f,g)有界变差函数
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